Das Assoziativgesetz der Multiplikation leicht erklärt

Beim Assoziativgesetz der Multiplikation spielt die Reihenfolge der Verknüpfungen keine Rolle.


Angenommen, Sie haben die Aufgabe, den Rauminhalt einer Kiste zu berechnen. Sie kennen die Länge, die Breite und die Höhe. Sie multiplizieren die Länge mit der Breite. Das Produkt ist die Grundfläche. Diese Fläche multiplizieren Sie wiederum mit der Höhe. Das Resultat ist der gesuchte Rauminhalt. Verknüpfen Sie hingegen zuerst die Breite mit der Höhe, dann erhalten Sie die Seitenfläche. Diese Seitenfläche mit der Länge malgenommen ergibt denselben Wert für den Rauminhalt. Die Reihenfolge der Verknüpfungen ist also bedeutungslos. Sie haben – wissend oder unwissend – das Assoziativgesetz der Multiplikation angewandt. Zur Veranschaulichung eine konkrete Rechnung ohne Einheiten:
- Länge = 4m; Breite = 3m; Höhe =2m;
- (4*3)*2 = 4*(3*2).

Das Assoziativgesetz der Multiplikation ist ein Strukturgesetz der Mathematik
Die Mathmatik ist die Wissenschaft von den formalen Strukturen. Formalisiert gilt für das Beispiel:
-(Länge mal Breite) mal Höhe = Länge mal (Breite mal Höhe).
Oder Kürzer formuliert:
- (L*B)*H = L*(B*H).
Da die Klammersetzung egal ist, schreib man auch kurz:
- L*B*H.
Abstrakt formuliert lautet das Assoziativgesetz der Mulitplikation also folgendermaßen:
- (a*b)*c = a*(b*c), wobei a,b,c Zahlen sind und "*" für die Multiplikation steht.
Das Assoziativgesetz gilt nicht immer:
Das Assoziativgesetz gilt für die Addition und die Multiplikation. Bei der Subtraktion und der Division ist es ungültig. Hier ist ein Gegenbeispiel:
- (4-2)- 1 = 1; aber: 4 - (2-1) = 3

Ein spezieller Fall eines allgemeinen Verknüpfungsgesetzes
Strukturgesetze, wie das Assoziativgesetz der Multiplikation, erleichtern das Verständnis für mathematisch-strukturelle Sachverhalte. Diese Strukturen betreffen nicht nur Zahlen und deren Verknüpfungen. Bei der Additiven Farbmischung zum Beispiel, ergibt die Verknüpfung von Rot, Grün und Blau immer die Farbe Weiß. Formal gilt also:
- (Rot*Grün)*Blau=Rot*(Grün*Blau), wobei „*“ nun „verknüpfen mit“ bedeutet.

Mit Worten: Wenn man zuerst Rot und Grün mischt, erhält man die Farbe Gelb. Mischen Sie dieses Gelb mit Blau, ergibt sich die Farbe Weiß. Mischt man dagegen zuerst Grün und Blau, resultiert die Farbe Cyan. Diese Farbe zusammen mit Rot, produziert wiederum Weiß. Die Additive Farbmischung ist also ein Beispiel für die Gültigkeit eines Assoziativgesetzes. Dagegen ist die folgende Gleichung offensichtlich falsch. Denken Sie darüber nach!
- (Waschen * Eincremen)* Schminken = Waschen * (Eincremen * Schminken)