Hochpunkte und Tiefpunkte berechnen - Kurvendiskussion leicht gemacht

Kenntnis über Hochpunkte und Tiefpunkte und deren Berechnung ist in vielen Anwendungsaufgaben absolut unverzichtbar.


Wer Hochpunkte und Tiefpunkte berechnen möchte, sollte sich nicht zu sehr von den für Analysis typischen Fachbegriffen abschrecken lassen. Im Prinzip ist es kinderleicht, eine solche Berechnung durchzuführen.

 

Extremstellen finden

  • Sowohl Hoch- als auch Tiefpunkten zählen zu den sogenannten Extrempunkten. Diese sind besonders markante Stellen einer Funktion, da an jenen Stellen von der Funktion keinerlei Anstieg vollzogen wird.
  • Auch werden Hoch-und Tiefpunkte oft als Maxima beziehungsweise Minima bezeichnet. Will man Hochpunkte und Tiefpunkte berechnen, muss man sich zunächst auf die Suche nach den sogenannten Maximal- bzw. Minimalstellen machen.
  • Diese Stellen sind besondere x-Werte, für die eine Funktion ein auffälliges Verhalten aufweist. Zunächst muss man die sogenannte Ableitungsfunktion aufstellen.
  • Dazu leitet man die Funktion nach den üblichen Regeln ab. Zu beachten sind sowohl die Summen-, Produkt und Divisionsregel als auch die Kettenregel.
  • Die Funktion wird anschließend als f‘(x) bezeichnet. Anschließend wird die Funktion f-Strich von x mit Null gleichgesetzt. Daraufhin gilt: f‘(x)=0. Löst man wiederum jene Gleichung nach x auf, so erhält man mindestens einen genauen Wert. Beispielsweise könnte sich der Wert 3 ergeben.
  • Dieser Wert ist an sich bereits eine Extremstelle. Setzt man diesen Wert in die ursprüngliche Funktion f(x) ein, so erhält man einen weiteren Wert. D
  • ieser Wert ist die y-Koordinate des Extrempunkts und somit das erste Zwischenergebnis, wenn man Hochpunkte und Tiefpunkte berechnen möchte. Man hat also einen Punkt mit den Koordinaten x, (in diesem Fall 3) und y.

 

Korrekte Unterscheidung

  • Durch die Koordinaten ist der Punkt nun genau definiert. Jedoch ist noch nicht klar, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Für diese Unterscheidung muss erneut die Funktion f‘(x) abgeleitet werden. Diese zweite Ableitung hat einen genauen Wert.
  • Ist dieser Wert größer als 0, so handelt es sich bei dem berechneten Punkt um einen Hochpunkt. Ist der Wert kleiner als Null, dann hat man einen Tiefpunkt berechnet.
  • Durch diese Unterscheidung kann man mit hundertprozentiger Genauigkeit Hochpunkte und Tiefpunkte berechnen. Grundsätzlich sollte man außerdem bedenken, dass eine quadratische Funktion 2. Grades, beispielsweise die Funktion x², nur einen Hochpunkt oder Tiefpunkt besitzt.
  • Funktionen höheren Grades können hingegen weitere Extremstellen besitzen. Aber auch dort liefern die eben erläuterten Arbeitsschritte das gewünschte Ergebnis problemlos.