Logarithmen berechnen - einfach erklärt

Bei astronomischen Werten durch Exponentialfunktionen wird das Logarithmen berechnen notwendig, um darstellbare Werte zu erhalten.


Wer Logarithmen berechnen will, sollte vorab den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion verstehen. Zur Beschreibung von Wachstumsprozessen werden häufig Exponentialfunktionen angewendet. Der Logarithmus hingegen wird häufig zur Beschreibung makroökonomischer Modelle angewendet. Die hat den Vorteil, dass diese Makroökonomischen Modelle hierdurch mathematischen Vereinfachungen unterliegen. Mit der Logarithmusfunktion lässt sich die Steigung der Exponentialfunktion an einem bestimmten Punkt bestimmen. Der Vorteil liegt hier insbesondere darin, dass große Abstände zwischen zu vergleichenden Werten verringert werden. Sollen beispielsweise statistische Werte in einem Balken Diagram abgebildet werden, wobei der Abstand zwischen den einzelnen Balken ebenfalls gemessen werden soll, kann der Abstand auf ein vergleichbares Maß logarithmiert werden.

 

 

Exponentialfunktion - Variablen im Exponenten

  • Bevor das Logarithmen berechnen erklärt werden soll, kurz eine Erläuterung der Exponentialfunktion. Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten. Häufig wird zur Erklärung die Funktion y = 2 hoch x (wobei im Folgenden für hoch, dass Symbol ^ verwendet wird). Der Funktion y = 2^x lässt sich entnehmen, dass der Wert sich verdoppelt, wenn x um eins ansteigt. Es gilt beispielsweise y = 2^1 = 2; y = 2^2 = 4; y = 2^3 = 8 und y = 2^4 = 16. Dabei gilt für 2^4 = 2*2*2*2 = 16.
  • Durch das exponentielle Wachstum lassen sich sehr schnell Werte erreichen, die so galaktisch sind, dass sie das menschliche Vorstellungsvermögen übertreffen. Hätte Josef beispielsweise zur Geburt seines Sohnes Jesus ein Sparbuch mit vier prozentiger Verzinsung angelegt, und würde Jesus im Jahre 2011 wieder auferstehen, würde sich ein Wert von 1,04^2011 ergeben. Hierbei würde sich ein Wert ergeben, der grafisch fast nicht darzustellen ist.
  • Umgerechnet würde sich für jeden der sechs Milliarden Bewohner der Erde, ein Betrag ergeben, der in Tausend-Eeuroscheinen gesplittet circa 1000 mal die Erde bepacken könnte. Hier lässt sich erkennen, dass bei bestimmten Werten, ein Logarithmen berechnen unumgänglich wird, um rechenbare Werte zu erhalten.

 

 

Der Logarithmus als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion

  • Wenn man die Variablen auflöst, und dann wieder nach y auflöst, erhält man die Umkehrfunktion. Aus y = 10^x würde sich also x = 10^x ergeben. Die notwendige Umstellung zur Logarithmusfunktion erfolgt nur durch eine andere Schreibweise, da eine mathematische Lösung zu aufwendig ist.
  • Zum Logarithmen berechnen, schreibt man nun einfach log10(x) = y. Diese Logarithmusfunktion hat die Frage zum Aussagegehalt, 10^wieviel = y? Beispielsweise ergibt sich y = 2 als Logarithmus von log10(100) = y, denn 10^2 = 100.