Normalenvektor bestimmen - Mathe leicht gemacht

Der Normalenvektor einer Ebene ist in der Geometrie von elementarer Bedeutung.


Der Normalenvektor ist ein Bestandteil der analytischen Geometrie. Er ist die Normale zu einer Ebene im Raum und steht deshalb senkrecht zu dieser. Je nachdem, in welcher Form die Ebene gegeben ist, lässt sich der Normalenvektor ablesen, beziehungsweise berechnen. So ist zum Beispiel in der Normalenform (allgemein: 0 = [ x – Stützvektor ] ∙ Normalenvektor) der Normalenvektor n ohne jegliche Umstellungen zu finden. Des Weiteren lässt er sich auch von der Koordinatenform ablesen. Diese hat die Form ax + by + cz = d. Dabei wären von n die Koordinaten a, b und c. Sind von einer Ebene jedoch lediglich die Parameterform ( Vektor-x = Stützvektor + r ∙ Richtungsvektor + s ∙ anderer Richtungsvektor) oder drei Punkte der Ebene gegeben, muss n berechnet werden.

Kreuzprodukt
Dies lässt sich mit Hilfe des Kreuzproduktes bewerkstelligen. Dazu verwendet man entweder die beiden Richtungsvektoren der Parameterform oder wählt aus drei gegebenen Punkten einen aus, von dem man dann die Vektoren zu den beiden anderen Punkten errechnet. Beim Kreuzprodukt werden die einzelnen Koordinaten x, y und z unabhängig von einander berechnet, da im Gegensatz zum Skalarprodukt als Ergebnis keine Zahl, sondern ein Vektor stehen soll. Berechnet man also das Kreuzprodukt der Vektoren a und b, so ergibt sich:

  • nx = ay ∙ bz – az ∙ by, ny = az ∙ bx – ax ∙ bz, nz = ax ∙ by – ay ∙ bx
  • nx, ny und nz sind dann die Koordinaten des Normalenvektors n.

Beispielaufgabe
Für ein kleines Beispiel seien die Punkte A( 1; 1; 1), B( 1; 2; 3) und C( 3; 4; 5) gegeben. Es soll der Normalenvektor einer Ebene ermittelt werden, auf der alle drei Punkte liegen. Aus den Punkten ergeben sich die folgenden Vektoren:

  • Vektor AB: x1 = 0, y1 = 1, z1 = 2 und Vektor AC: x2 = 2, y2 = 3, z2 = 4

Aus den beiden Vektoren wird das Kreuzprodukt berechnet:

  • nx = ay ∙ bz – az ∙ by = 1 ∙ 4 – 2∙ 3 = -2
  • ny = az ∙ bx – ax ∙ bz = 2 ∙ 2 – 0 ∙ 4 = 4
  • nz = ax ∙ by – ay ∙ bx = 0 ∙ 3 – 1 ∙ 2 = -2

Damit wären die Koordinaten für den Normalenvektor gefunden.