Teilbarkeit - Mathe leicht gemacht

Teilbarkeit ist die Eigenschaft von natürlichen Zahlen, die durch andere Zahlen geteilt werden können, ohne dass ein Rest bleibt


Als Beispiel für die Teilbarkeit kann man sich die Zahl 8 nehmen. 8 ist teilbar durch 1, 2, 4 und 8. Denn: 8:1=8, 8:2=4, 8:4=2, 8:8=1. Durch 3 ist 8 zum Beispiel nicht teilbar, denn 8:3=2 Rest 2 oder rund 2,667. Jede Zahl, sofern sie keine Quadratzahl ist (1, 4, 9, ...) hat eine gerade Anzahl an Teilern. Dies ist auch ganz logisch, denn wir definieren Zahlen alle natürlich, für die gilt: a:b=c. Somit ist b ein Teiler von a und dadurch, dass a keine Quadratzahl ist, gilt: b ungleich c. Stellt man diese Gleichung nun um, so ist a=b*c oder auch a:c=b. Somit ist auch c ein Teiler von a, a besitzt also Teilbarkeit zu einer geraden Anzahl an Zahlen, sofern sie keine Quadratzahl ist. Außerdem ist jede Zahl zu 1 und sich selbst teilbar. Denn: a:a=1 und a:1=a. Da a eine natürliche Zahl ist, sind a und 1 Teiler.

Wie findet man für große Zahlen heraus, ob diese teilbar sind?
Dafür gibt es so genannte Teilbarkeitsregeln. Diese sind für die Teiler 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20 definiert. Im Folgenden werden nur die essenziellen 2, 3, 5 erläutern, der Rest setzt sich daraus zusammen.

  • Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch zwei teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 2, 4, 6, 8 oder 0 ist.
  • Teilbarkeit durch 3: Eine Zahl ist durch drei teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Beispiel: 123963. Die Quersumme ist 1+2+3+9+6+3 und somit 24. Man muss nicht zwingend überprüfen, ob 24 schon durch 3 teilbar ist, obwohl man das ab einer bestimmten Klassenstufe weiß. Man kann auch von 24 noch einmal die Quersumme bilden. 2+4=6. Dass 6 durch 3 teilbar ist, weiß wohl jeder.
  • Teilbarkeit durch 5: Eine Zahl ist durch fünf teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist.

Verbunden werden können diese Eigenschaften natürlich auch. Bei der 4 beispielsweise werden sie verbunden, indem nicht überprüft wird, ob die letzte Ziffer durch 4 teilbar ist. (Das wären nur 4 oder 8, es gibt aber auch 12, 16 und 20 und viele weitere.) Sondern es muss überprüft werden, ob die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Denn 25*4=100. Somit ist 104 genauso teilbar wie 4. Bei der Teilbarkeit durch 6 ist das genauso. 6=2*3. Somit muss die Quersumme durch 3 teilbar sein und die letzte Ziffer muss durch zwei teilbar sein.

Wo benötigt man die Teilbarkeit?
Teilbarkeit wird vor allem benötigt, wenn man große Zahlen in ein Produkt aus kleineren Zahlen zerlegen will. (Primfaktorzerlegung) Anwendung findet das bei Verschlüsselungssystemen und -codes, da es für große Zahlen sehr schwierig ist, ihre Primfaktoren herauszufinden. Beispielsweise nehmen wir uns die Zahl 30. 30 ist durch 2 teilbar, weil 30:2=15 oder weil die letzte Ziffer eine 0 ist. somit gilt für 30=2*x, dass x natürlich ist. Nun müssen wir nur die 15 weiter betrachten. 15 ist durch 3 teilbar, denn 15:3=5. Und damit erhalten wir den anderen Teiler, 5. Denn 5 ist eine Primzahl. Somit ist 30 gleich 2*3*5. Natürlich kann man auch eine Teilbarkeitsregel für die 30 definieren, die sich durch die Teilbarkeit aus 2, 3 und 5 zusammensetzt. Also muss eine 2, 4, 6, 8, 0 am Ende stehen und es muss eine 5 oder 0 am Ende stehen und die Quersumme muss durch 3 teilbar sein. Die ersten beiden Bedingungen schließen nur die 0 ein. Somit muss eine 0 am Ende stehen und die Quersumme muss durch 3 teilbar sein.