Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck - Anleitung und Beispiel

Eine Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck ist dank zahlreicher praktischer Formeln ein leicht zu lösendes, aber mathematisch interessantes Problem.


Auch wenn Schüler oftmals etwas anderes behaupten: die Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck ist zwar anspruchsvoll, aber keinesfalls kompliziert. Wer die richtigen Formeln kennt, wird schnell und ohne Umwege zum richtigen Ergebnis geführt.

Grundsätzliche Werte

  • Grundsätzlich ist zu sagen, dass es sich bei einem rechtwinkligen Dreieck, welches einen 90 Grad Winkel besitzt, um ein regelrechtes Unikat unter den geometrischen Formen handelt. Es gibt eine Reihe von Grundregeln und Sätzen, die einzig und allein auf das rechtwinklige Dreieck anwendbar sind. Eben jene Formeln macht man sich bei der Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck zu Nutze.
  • Beispielsweise gilt für ein Dreieck der Satz des Pythagoras. Dieser beschreibt, dass die Summe aus den quadrierten Kateten die quadrierte Hypotenuse ergibt. Mathematisch ausgedrückt spricht man von der Formel c²=a²+b². Auch diese Formel wird sich bei der Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck noch entscheidend auswirken.
  • Als Beispielobjekt soll ein relativ simples, rechtwinkliges Dreieck dienen, welches die Kantenlängen a = 3 Meter, b =2 Meter und c = 3,6 Meter besitzt. Da c mit einer Kantenlänge von 3,6 Metern die längste Kantenlänge darstellt, ist c in diesem Fall die Hypotenuse. Eine Hypotenuse liegt zusätzlich immer dem rechten Winkel gegenüber. Die einzelnen Winkel sind nicht bekannt und sollen berechnet werden.

Schritt für Schritt zum Ziel

  • Man beginnt damit, den ersten Winkel Alpha auszurechnen. Dieser liegt im Dreieck am Schnittpunkt der Seite c und Seite b. Dazu benötigt man den Quotienten aus a und c. Man rechnet also a:c beziehungsweise 3:3,6. Es ergibt sich ein Quotient von rund 0,833. Dieser Quotient ist gleichzeitig der Sinus des Winkels Alpha und sehr bedeutsam bei der Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck.
  • Um den Sinuswert in einen Winkel umzuformen, bildet man mithilfe von Internetprogrammen oder des Taschenrechners den ursprünglichen Winkelwert. Dies ist der sogenannte Arkussinus. Als Taschenrechnertaste wird dieser oft mit „arcsin“ bezeichnet. In diesem Fall ist Alpha 56,443 Grad groß.
  • Bei der Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck ist bereits bekannt, dass alle Winkel des Dreiecks gemeinsam 180 Grad groß sind. Demnach lässt sich der letzte noch fehlende Winkel sehr einfach berechnen. Dazu wird von 180 Grad sowohl der 90 Grad Winkel als auch der Winkel Alpha abgezogen. Es ergibt sich die Rechnung 180 Grad - 90 Grad - 56,443 = Beta. Beta bezeichnet den noch fehlenden Winkel und ist in diesem Fall 33,557 Grad groß. Alle Winkel sind nun vollständig berechnet.